Kovarianz
Formel und Beispiele zur Kovarianz zweier Zahlenreihen
Kovarianz ist ein nichtstandardisiertes Maß für den linearen Zusammenhang zweier statistischer Variablen.
Die Kovarianz kann als Stichprobenkovarianz für eine Teilmenge, oder für die Gesamtmenge bestimmt werden. Für die Gesamtmenge oder die Stichprobe gelten unterschiedliche Formeln.
Empirische Kovarianz Formel
Zur Berechnung der Kovarianz einer Stichprobe
\(\displaystyle cov(x,y)=\frac{1}{n-1} \left( \sum^n_{i=1} (x_i-\overline{x})(x_i-\overline{y}) \right) \)
Kovarianz Formel
Zur Berechnung der Kovarianz einer Gesamtmenge
\(\displaystyle cov(x,y)=\frac{1}{n} \left( \sum^n_{i=1} (x_i-\overline{x})(x_i-\overline{y}) \right) \)
\(n\) Anzahl der Daten \(x_i\) Einzelner Wert von x \(\overline{x}\) Mittelwert der Stichprobe von x \(y_i\) Einzelner Wert von y \(\overline{y}\) Mittelwert der Stichprobe von y
Beispiel
In dem Beispiel nehmen wir an, dass eine Anzahl Tischler pro Tag eine bestimmte Anzahl Stühle herstellen
3 Tischler: 10 Stühle
5 Tischler: 16 Stühle
7 Tischler: 22 Stühle
Zuerst wird das arithmetische Mittel aus der Anzahl der Arbeiter und der Anzahl der Stühle berechnet.
\(\displaystyle 3+4+7=\frac{15}{3}=\color{#44F}{5}\)
\(\displaystyle 10+16+22=\frac{48}{3}=\color{#44F}{16}\)
Kovarianz berechnen:
\(\displaystyle cov(x,y)= ((x_1-\overline{x}) · (y_1-\overline{y})\) \(\displaystyle +(x_2-\overline{x}) · (y_2-\overline{y})\) \(\displaystyle +(x_3-\overline{x}) · (y_3-\overline{y})) \)
\(\displaystyle cov(x,y)= ((3-5) · (10-16)\) \(\displaystyle +(5-5) · (16-16)\) \(\displaystyle +(7-5) · (22-16)) \)
\(\displaystyle = (-2 · -6) +(0 ·0) +(2 · 6) \)
\(\displaystyle = 12 +0 +12 =24 \)
\(\displaystyle = \frac{24}{3}=\color{#44F}{8} \)
Bei einer Stichprobe (Empirische Kovarianz) wird durch \(n-1\) statt durch \(n\) geteilt. In dem Beispiel oben also geteilt durch 2.
Kovarianz online berechnen →
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